De welluidendheid van grote drieklanken

 

De welluidendheid van grote drieklanken

 

J. de Ruiter

November 2018

 

 

1. Tonen

 

Elke toon bestaat uit een grondtoon (een geluidstrilling met frequentie f) plus een aantal harmonische boventonen (geluidstrillingen met frequenties nf, n geheel). Met soms ook nog enige niet-harmonische boventonen (dus geluidstrillingen met frequenties ≠ nf). Klokken bijv. geven tonen met sterk afwijkende boventonen.

De meeklinkende boventonen zijn zwakker dan de grondtoon en kunnen sterk verschillen in

geluidssterkte. De grondtoon wordt ervaren als de hoogte van de toon. De meeklinkende boventonen bepalen het timbre (klankkleur). Bepalend is welke boventonen hoorbaar meeklinken en hoe sterk. Hogere boventonen maken de klank helderder, scherper. Lagere boventonen maken de klank voller en dieper.

Tonen zonder boventonen komen eigenlijk niet voor in de natuur, maar zijn elektronisch wel mogelijk.

 

Eenheid van toonhoogte: Hertz (Hz). 1 Hz = 1 trilling per seconde.

Frequentiegrenzen voor de hoorbaarheid: van ca. 20 tot ca. 20.000 Hz, voor een jong menselijk oor.

Gevoeligste gebied voor het menselijke oor: van 500 tot 4.000 Hz, met een top bij 2.300 Hz.

 

De geluidssterkte w ordt bepaald door de amplitude van de trilling (de mate van de uitwijking van de trillende luchtdeeltjes).

Eenheid: decibel (db).

Pijngrens: 120 db..

 

2. Octaaf

 

Wat gebeurt er als de toonhoogte verdubbeld wordt?

Meer precies: wat is de relatie tussen een toon met frequentie f en een toon met frequentie 2f? Bijzondere tonen met niet-harmonische boventonen laten we buiten beschouwing.

Een toon met frequentie f betekent dat de grondtoon frequentie f heeft en dat daarnaast een aantal boventonen met frequenties 2f, 3f, 4f, 5f, 6f, …. meeklinken.

Een tweede toon met frequentie 2f betekent dat de grondtoon frequentie 2f heeft en dat daarnaast een aantal boventonen meeklinken met frequenties 2x2f, 3x2f, 4x2f, 5x2f, 6x2f, ….  Maar 2f, 4f, 6f, 8f, 10f, 12f, … zijn allemaal boventonen van de eerste toon! Ons gehoor ervaart daardoor de tweede toon in hoge mate als soortgelijk.

Verdubbeling van de toonhoogte leidt dus tot een hogere toon die toch als soortgelijk ervaren wordt. Het verschil in toonhoogte wordt een octaaf genoemd.

 

3. De gewone toonladder

 

De gewone toonladder, dus de majeur (of grote terts) toonladder, genoteerd in C, is als volgt gedefiniëerd:

 

1   D    1   E  ½   F  1   G  1   A  1   B  ½   C

 

Hierbij is de laatste C een octaaf hoger dan de eerste C.

½ betekent: toonhoogte stijgt met een halve toon.
1 betekent: toonhoogte stijgt met een hele toon .
Als 
f  de frequentie van de eerste toon is en  r  de factor waarmee de frequentie toeneemt als de toon een halve toon hoger wordt, dan horen bij de toonladder in  C  de volgende frequenties:

C

f

D

r2f

E

r4f

F

r5f

G

r7f

A

r9f

B

r11f

C

r12f = 2f


Hieruit volgt dat  r12 = 2, dus 
r =  21/12 »  1,059 .
Als we de gevonden waarde van 
r  invullen, dan horen bij de toonladder in  C  de volgende frequenties:

C

f

D

1,122 f

E

1,260 f

F

1,335 f

G

1,498 f

A

1,682 f

B

1,888 f

C

2f

 

4. De grote drieklank

In de gewone toonladder zijn drie drietallen van stijgende tonen te zien met steeds dezelfde structuur: eerst 2 tonen hoger, dan 1½ toon hoger. Dit zijn de drietallen C – E – G, F – A – C en G – B – D.
Een interval van 2 tonen hoger heet een grote terts, een interval van 1½ toon hoger een  kleine terts en een interval van 3½ toon hoger een reine kwint.

Drie tonen, met de tweede een terts hoger dan de eerste en de derde een kwint hoger dan de eerste, heten samen een grote drieklank.

 

Wat is nu het bijzondere van een grote drieklank?
Dat is het volgende.


De drie tonen van een grote drieklank klinken samen welluidend!

Ofwel, welke twee van de drie tonen men ook tegelijk hoort, ze klinken samen goed.
Dit is te verklaren als we bedenken dat een toon bestaat uit een grondtoon plus een aantal harmonische boventonen.
We geven hieronder de verklaring voor de grote drieklank C – E – G. De verklaring voor andere grote drieklanken gaat net zo.

We bekijken eerst de tweeklank C – E.
Als C een grondtoon heeft met frequentie f, dan heeft E volgens bovenstaand tabelletje een grondtoon met frequentie 1,260 f, dus nagenoeg 5/4 f. Als we E nu 2 octaven verhogen, dan krijgen we een soortgelijke toon, maar nu met grondtoon 5f. We kunnen dus volstaan met het vergelijken van de toon C en de met 2 octaven verhoogde toon E.
Bij de toon C horen we de grondtoon f en een aantal van de harmonische boventonen  2f, 3f, 4f, 5f, 6f, ….
Bij de met 2 octaven verhoogde toon E horen we dan de grondtoon 5f en een aantal van de harmonische boventonen 10f, 15f, 20f, 25f, 30f, ….  Al deze tonen zijn ook boventonen van de toon C, zodat de beide series boventonen niet ongewenst interfereren. Dit wordt door ons gehoor als rustig en daarmee als aangenaam ervaren.
Een soortgelijke redenering is ook te houden voor de tweeklank C – G.
G heeft een grondtoon met frequentie 1,498 f, dus nagenoeg 3/2 f. Als we nu G een octaaf verhogen, dan krijgen we een soortgelijke toon, maar nu met grondtoon 3f. Ons gehoor registreert dan de frequentie 3f en een aantal van de frequenties 6f, 9f, 12f, 15f, 18f, ….
Ook deze zijn weer boventonen van C, zodat er geen sprake is van ongewenste interferentie.

5. Het septiemakkoord

 

De gewone toonladder in C is dus op te delen in 3 grote drieklanken: C – E - G, F – A – C en G – B – D. We noemen deze ook wel de akkoorden [C], [F] en [G]. Van elk van deze grote drieklanken is de tweede toon een grote terts (2 tonen) hoger dan de eerste toon en de derde toon een kleine terts (1½ toon) hoger dan de tweede. Echter, alleen de grote drieklank G – B – D heeft de eigenschap dat deze binnen de toonladder van C nog een keer verder uit te breden is met een kleine terts, nl. tot G – B – D – F. Deze vierklank zal dus ook nog goed klinken en dus nog rijker dan G – B – D. Deze vierklank wordt het septiemakkoord [G7] genoemd.

De 7 slaat erop dat in het akkoord G – B – D – F de toon F op te vatten is als de 7e toon (als we G tellen als de 1e toon).